Kalkulus Contoh

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena

$8$ konstan terhadap

$t$ , pindahkan

$8$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Langkah 2.3.2

Biarkan

$u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Kemudian

$d u_{1} = d t$ . Tulis kembali menggunakan

$u_{1}$ dan

$d$

$u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan

$u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Tentukan

$\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan

$t - \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$t - \frac{π}{12}$ terhadap

$t$ adalah

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah

$n t^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena

$- \frac{π}{12}$ konstan terhadap

$t$ , turunan dari

$- \frac{π}{12}$ terhadap

$t$ adalah

$0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u_{1}$ dan

$d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.3

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali

$\sin^{2} (u_{1})$ sebagai

$\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.4

Karena

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

$u_{1}$ , pindahkan

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

$8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2

Hapus faktor persekutuan dari

$8$ dan

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan

$2$ dari

$2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.4

Bagilah

$4$ dengan

$1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.3.6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.7

Terapkan aturan konstanta.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.8

Karena

$- 1$ konstan terhadap

$u_{1}$ , pindahkan

$- 1$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 2.3.9

Biarkan

$u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian

$d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga

$\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan

$u_{2}$ dan

$d$

$u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Biarkan

$u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan

$\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1.1

Diferensialkan

$2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 2.3.9.1.2

Karena

$2$ konstan terhadap

$u_{1}$ , turunan dari

$2 u_{1}$ terhadap

$u_{1}$ adalah

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 2.3.9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah

$n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 2.3.9.1.4

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$2$

Langkah 2.3.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan

$u_{2}$ dan

$d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 2.3.10

Gabungkan

$\cos (u_{2})$ dan

$\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 2.3.11

Karena

$\frac{1}{2}$ konstan terhadap

$u_{2}$ , pindahkan

$\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 2.3.12

Integral dari

$\cos (u_{2})$ terhadap

$u_{2}$ adalah

$\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Langkah 2.3.13

Sederhanakan.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Langkah 2.3.14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.14.1

Ganti semua kemunculan

$u_{1}$ dengan

$t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Langkah 2.3.14.2

Ganti semua kemunculan

$u_{2}$ dengan

$2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Langkah 2.3.14.3

Ganti semua kemunculan

$u_{1}$ dengan

$t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Langkah 2.3.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.1

Terapkan sifat distributif.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.2.1

Pindahkan negatif pertama pada

$- \frac{π}{12}$ ke dalam pembilangnya.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2.2

Faktorkan

$2$ dari

$12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.4

Gabungkan

$\sin (2 t - \frac{π}{6})$ dan

$\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.5

Terapkan sifat distributif.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.6.1

Batalkan faktor persekutuan dari

$4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.6.1.1

Pindahkan negatif pertama pada

$- \frac{π}{12}$ ke dalam pembilangnya.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.1.2

Faktorkan

$4$ dari

$12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari

$2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.15.6.2.1

Pindahkan negatif pertama pada

$- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.2.2

Faktorkan

$2$ dari

$4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.6.3

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Langkah 2.3.15.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai

$K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$