Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Langkah 1

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Langkah 2

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 3

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 4

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Langkah 5

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Langkah 5.1.1.1.2

Kurangi $V$ dengan $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Langkah 5.1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Langkah 5.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Langkah 5.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Langkah 5.1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Langkah 5.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Langkah 5.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Langkah 5.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3 - 2 V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Langkah 5.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 5.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Biarkan $u = 3 - 2 V$ . Kemudian $d u = - 2 d V$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Biarkan $u = 3 - 2 V$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - 2 V$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Langkah 5.2.2.1.1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $3$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $- 2 V$ terhadap $V$ adalah $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Langkah 5.2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Langkah 5.2.2.1.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$0 - 2$

Langkah 5.2.2.1.1.4

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$- 2$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.2.2

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.6

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 5.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 5.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 5.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Gabungkan $\ln (| 3 - 2 V |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.3.2

Kalikan $\ln (| 3 - 2 V |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Langkah 5.3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Langkah 5.3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Langkah 5.3.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Langkah 5.3.4.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Langkah 5.3.5

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Langkah 5.3.6

Tulis kembali $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Langkah 5.3.7

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Langkah 5.3.7.2

Bagi setiap suku pada $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.3.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.3.7.2.2.1.2

Bagilah $| 3 - 2 V |$ dengan $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.3.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Langkah 5.3.7.4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Langkah 5.3.7.5

Bagi setiap suku pada $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.1

Bagilah setiap suku di $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 5.3.7.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 5.3.7.5.2.1.2

Bagilah $V$ dengan $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 5.3.7.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.3.1.1

Sederhanakan $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Langkah 5.3.7.5.3.1.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 5.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 5.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.2.1.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.2.1.1.3

Gabungkan.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.2.1.1.4

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.2.1.1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Langkah 7.2.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Langkah 7.2.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Langkah 7.2.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Langkah 7.2.2.1.2.3

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Langkah 7.2.2.1.2.4

Susun kembali $\frac{C}{2 x}$ dan $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$