Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x^{2}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $- \frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 1.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.4

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.4.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.2.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} x^{2}$

Langkah 2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cdot x)$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = x$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = x$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int x d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int x d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{y}{x} = \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 7.3

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Langkah 7.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{x^{2}}{2} + C) x$

Langkah 7.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1

Sederhanakan $(\frac{x^{2}}{2} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2}}{2} x + C x$

Langkah 7.4.2.1.2

Kalikan $\frac{x^{2}}{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.2.1

Gabungkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $x$ .

$y = \frac{x^{2} x}{2} + C x$

Langkah 7.4.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.2.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.2.1.2.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{1}}{2} + C x$

Langkah 7.4.2.1.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{x^{2 + 1}}{2} + C x$

Langkah 7.4.2.1.2.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{2} + C x$