Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{2}}{x}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{5 y^{2}}{x}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (5 y^{2})}{y^{2} x}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (5 y^{2})}{y^{2} x}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (5)}{x}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{5}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{5}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y} = 5 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $5 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{5}) + C$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{5}) + C$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{5}) + C$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \ln ({| x |}^{5}) y + C y$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln ({| x |}^{5}) y + C y$ .

$- 1 = y \ln ({| x |}^{5}) + C y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y \ln ({| x |}^{5}) + C y = - 1$ .

$y \ln ({| x |}^{5}) + C y = - 1$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $y \ln ({| x |}^{5}) + C y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $C y$ .

$y \ln ({| x |}^{5}) + y C = - 1$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $y \ln ({| x |}^{5}) + y C$ .

$y (\ln ({| x |}^{5}) + C) = - 1$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y (\ln ({| x |}^{5}) + C) = - 1$ dengan $\ln ({| x |}^{5}) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (\ln ({| x |}^{5}) + C) = - 1$ dengan $\ln ({| x |}^{5}) + C$ .

$\frac{y (\ln ({| x |}^{5}) + C)}{\ln ({| x |}^{5}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln ({| x |}^{5}) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (\ln ({| x |}^{5}) + C)}{\ln ({| x |}^{5}) + C} = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{\ln ({| x |}^{5}) + C}$