Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 3 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 3 x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 3 x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Langkah 2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

Langkah 2.4

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

Langkah 2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

Langkah 2.4.3

Kurangi $3 x$ dengan $x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Langkah 2.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Langkah 2.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 6.2.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 6.3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 6.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 6.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 6.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 6.7

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 6.8

Sederhanakan.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 6.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ dengan $e^{- 3 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ dengan $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{- 2 x}$ dan $e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $e^{- 3 x}$ dari $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $- \frac{1}{4} e^{x}$ dengan $1$ .

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Langkah 7.3.1.2

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$