Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{3 y + 9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 3 y + 9$ . Kemudian $d u = 3 d y$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 3 y + 9$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y + 9$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 y$ terhadap $y$ adalah $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $9$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{3 y + 9})$ dengan memindahkan $3 y + 9$ ke luar logaritma.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Langkah 3.4.3

Kalikan $3 y + 9$ dengan $1$ .

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Langkah 3.5

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

Langkah 3.6

Bagi setiap suku pada $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Bagilah setiap suku di $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ dengan $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Langkah 3.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Bagilah $- 9$ dengan $3$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$