Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = {(\frac{1 + x}{1 + y})}^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1 + x}{1 + y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(1 + y)}^{2}$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(1 + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + y)}^{2} \frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 + y)}^{2}}$

Langkah 1.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = {(1 + x)}^{2}$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali ${(1 + x)}^{2}$ sebagai $(1 + x) (1 + x)$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = (1 + x) (1 + x)$

Langkah 1.3.3

Perluas $(1 + x) (1 + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Terapkan sifat distributif.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 (1 + x) + x (1 + x)$

Langkah 1.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x (1 + x)$

Langkah 1.3.3.3

Terapkan sifat distributif.

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 \cdot 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Langkah 1.3.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 1 x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Langkah 1.3.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x \cdot 1 + x \cdot x$

Langkah 1.3.4.1.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x \cdot x$

Langkah 1.3.4.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x + x + x^{2}$

Langkah 1.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

${(1 + y)}^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + 2 x + x^{2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

${(1 + y)}^{2} d y = (1 + 2 x + x^{2}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int {(1 + y)}^{2} d y = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int 1 + 2 x + x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = \int d x + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + \int 2 x d x + \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 \int x d x + \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + C_{2} + 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x + x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{5}$

Langkah 2.3.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3}) = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} {(1 + y)}^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(1 + y)}^{3}$ .

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{{(1 + y)}^{3}}{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $3 (x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + x + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

${(1 + y)}^{3} = 3 (x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + x + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 x + 3 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(1 + y)}^{3} = 3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$1 + y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K}$

Langkah 3.4

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + 3 K} - 1$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + x^{3} + 3 x + K} - 1$