Kalkulus Contoh

$(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ dengan $4 + x^{6}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ dengan $4 + x^{6}$ .

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y} \cdot \frac{1}{4 + x^{6}}$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $\frac{x^{5}}{y}$ dengan $\frac{1}{4 + x^{6}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{(4 + x^{6}) y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $(4 + x^{6}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $x^{6}$ sebagai ${(x^{6})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + {(x^{6})}^{1}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{1} = x^{6}$ . Kemudian $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{1} = x^{6}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.2

Kalikan $\frac{1}{4 + u_{1}}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(4 + u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $4 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{6 (4 + u_{1})} d u_{1}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{4 + u_{1}} d u_{1}$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u_{2} = 4 + u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u_{2} = 4 + u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $4 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 + u_{1}]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 2.3.5.1.3

Karena $4$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $4$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 2.3.5.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.3.5.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + u_{1} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $\ln (| 4 + x^{6} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{6}{6}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{6}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 (3)}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{3}$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.2

Kalikan $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.3.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.3.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.4.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.4.4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$

Langkah 3.4.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$