Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.3

Faktorkan $y$ dari $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 1.4

Susun kembali $y$ dan $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{2}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{2}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{x}$ dan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Langkah 3.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Langkah 3.5.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Langkah 7

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = - \cos (x) + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = - \cos (x) + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $2$ untuk $x$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Langkah 10.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Evaluasi $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Langkah 10.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Langkah 10.2.1.3

Bagilah $0.99939082$ dengan $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Langkah 10.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Langkah 10.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Tambahkan $0.2498477$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Langkah 10.3.2

Tambahkan $1$ dan $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Langkah 10.4

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Langkah 10.5

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Langkah 10.5.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Kalikan $4$ dengan $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Langkah 11

Substitusikan $4.99939082$ untuk $C$ dalam $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $4.99939082$ untuk $C$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$