Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ sebagai $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 y^{2}, x, 1$

Langkah 3.1.2

Karena $2 y^{2}, x, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $2, 1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{2}, x^{1}$ .

Langkah 3.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.1.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.1.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.1.6

KPK dari $2, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 3.1.7

Faktor-faktor untuk $y^{2}$ adalah $y \cdot y$ , yaitu $y$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ terjadi $2$ kali.

Langkah 3.1.8

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.1.9

KPK dari $y^{2}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y \cdot y \cdot x$

Langkah 3.1.10

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$y^{2} x$

Langkah 3.1.11

KPK untuk $2 y^{2}, x, 1$ adalah bagian bilangan $2$ dikalikan dengan bagian variabel.

$2 y^{2} x$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ dengan $2 y^{2} x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ dengan $2 y^{2} x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.2.1.2

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $2 y^{2} x$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (x)) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- x = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{4}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$- x = \frac{- 4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.3.1.1.2

Faktorkan $x$ dari $2 y^{2} x$ .

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.3.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- x = - 4 (2 y^{2}) + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- x = - 8 y^{2} + K (2 y^{2} x)$

Langkah 3.2.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- x = - 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$ .

$- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $- 8 y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 4) + 2 K y^{2} x = - x$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $2 K y^{2} x$ .

$2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x) = - x$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $2 y^{2}$ dari $2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x)$ .

$2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ dengan $2 (- 4 + K x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ dengan $2 (- 4 + K x)$ .

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Langkah 3.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4 + K x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Langkah 3.3.3.2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 4 + K x)}$

Langkah 3.3.3.3.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) + K x)}$

Langkah 3.3.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $K x$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) - (- K x))}$

Langkah 3.3.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (4) - (- K x)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4 - K x))}$

Langkah 3.3.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - - \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.3.3.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.3.3.5.3

Kalikan $\frac{x}{2 (4 - K x)}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$

Langkah 3.3.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ sebagai $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

Langkah 3.3.5.2

Kalikan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

Langkah 3.3.5.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.3.1

Kalikan $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

Langkah 3.3.5.3.2

Naikkan $\sqrt{2 (4 - K x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

Langkah 3.3.5.3.3

Naikkan $\sqrt{2 (4 - K x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} {\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1}}$

Langkah 3.3.5.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.3.5.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}}$

Langkah 3.3.5.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}$ sebagai $2 (4 - K x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 (4 - K x)}$ sebagai ${(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{({(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.3.5.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.3.5.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.5.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.3.5.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{1}}$

Langkah 3.3.5.3.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.5.4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.5.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Langkah 3.3.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{2 x (4 + K x)}}{2 (4 + K x)}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x (4 + K x)}}{2 (4 + K x)}$