Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y + y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y + y e^{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $y + y e^{y^{2}}$ dengan $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $y$ dari $y + y e^{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.3.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.3.3

Faktorkan $y$ dari $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.3.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Langkah 1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Langkah 1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + e^{y^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Langkah 1.2.5.2

Bagilah $1 + x e^{x}$ dengan $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.3

Biarkan $u = y^{2}$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Biarkan $u = y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Diferensialkan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 y$

Langkah 2.2.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

Langkah 2.3.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

Langkah 2.3.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$