Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

Langkah 1.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 7.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 7.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 7.5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 7.6

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Langkah 7.7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Langkah 7.8

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Langkah 7.9

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Langkah 7.10

Sederhanakan.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Langkah 8.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Langkah 8.3.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Tambahkan $- 2 x e^{x}$ dan $2 x e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Langkah 8.3.3.2

Tambahkan $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ dan $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Langkah 8.3.3.3

Kurangi $2 e^{x}$ dengan $2 e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

Langkah 8.3.3.4

Tambahkan $x^{2} e^{x}$ dan $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$