Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 1 d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Langkah 2.3

Kalikan $e^{- x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Langkah 2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Langkah 2.3.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Langkah 2.4

Sederhanakan $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Langkah 2.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{- x} y = \int x d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $e^{- x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.1.3

Gabungkan.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Langkah 7.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$