Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int d x}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Langkah 2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Langkah 6.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ dengan $e^{x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ dengan $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Langkah 8

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $3$ untuk $y$ padda $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Langkah 9

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Langkah 9.2

Sederhanakan $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Langkah 9.2.2.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$- 1 + C = 3$

Langkah 9.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 3 + 1$

Langkah 9.3.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$C = 4$

Langkah 10

Substitusikan $4$ untuk $C$ dalam $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Substitusikan $4$ untuk $C$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$