Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} t$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2.3

Kalikan $t^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 1, 1$

Langkah 3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ dengan $y$ .

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = t^{2} y + K y$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $t^{2} y + K y = - 1$ .

$t^{2} y + K y = - 1$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y$ dari $t^{2} y + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $t^{2} y$ .

$y t^{2} + K y = - 1$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y t^{2} + y K = - 1$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan $y$ dari $y t^{2} + y K$ .

$y (t^{2} + K) = - 1$

Langkah 3.3.3

Bagi setiap suku pada $y (t^{2} + K) = - 1$ dengan $t^{2} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y (t^{2} + K) = - 1$ dengan $t^{2} + K$ .

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Langkah 3.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Langkah 3.3.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Langkah 3.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $3$ untuk $t$ dan $1$ untuk $y$ padda $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ .

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ .

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

Langkah 5.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

Langkah 5.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$9 + K, 1$

Langkah 5.3.2

Hilangkan tanda kurung.

$9 + K, 1$

Langkah 5.3.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$9 + K$

Langkah 5.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{9 + K} = 1$ dengan $9 + K$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{9 + K} = 1$ dengan $9 + K$ .

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $9 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{9 + K}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Langkah 5.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Langkah 5.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = 1 (9 + K)$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Kalikan $9 + K$ dengan $1$ .

$- 1 = 9 + K$

Langkah 5.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $9 + K = - 1$ .

$9 + K = - 1$

Langkah 5.5.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 1 - 9$

Langkah 5.5.2.2

Kurangi $9$ dengan $- 1$ .

$K = - 10$

Langkah 6

Substitusikan $- 10$ untuk $K$ dalam $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $- 10$ untuk $K$ .

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$