Kalkulus Contoh

$x (y^{2} - 1) d x + y (x^{2} - 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x (y^{2} - 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y (x^{2} - 1) d y = - x (y^{2} - 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (y (x^{2} - 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x^{2} - 1$ dari $y (x^{2} - 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} ((x^{2} - 1) y) d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2} - 1} y d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{y^{2} - 1}$ dan $y$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2} - 1^{2}} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.3.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (- x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $y^{2} - 1$ dari $(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} (x (y^{2} - 1)) d x$

Langkah 3.5.3

Faktorkan $y^{2} - 1$ dari $x (y^{2} - 1)$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Langkah 3.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)} ((y^{2} - 1) x) d x$

Langkah 3.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- 1}{x^{2} - 1} x d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{- 1}{x^{2} - 1}$ dan $x$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1} d x$

Langkah 3.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{x^{2} - 1^{2}} d x$

Langkah 3.7.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{- x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Kemudian $d u_{1} = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = (y + 1) (y - 1)$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Langkah 4.2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y + 1$ dan $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.3.4.2

Kalikan $y + 1$ dengan $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 4.2.1.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 4.2.1.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 4.2.1.1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Langkah 4.2.1.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Langkah 4.2.1.1.3.8.2

Kalikan $y - 1$ dengan $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Langkah 4.2.1.1.3.8.3

Tambahkan $y$ dan $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Langkah 4.2.1.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.8.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 y + 0$

Langkah 4.2.1.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 1) (x - 1)} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = (x + 1) (x - 1)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]$

Langkah 4.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x + 1$ dan $g (x) = x - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.4.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 4.3.2.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.2.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 4.3.2.1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x + 1 + (x - 1) (1 + 0)$

Langkah 4.3.2.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$x + 1 + (x - 1) \cdot 1$

Langkah 4.3.2.1.3.8.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$x + 1 + x - 1$

Langkah 4.3.2.1.3.8.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$2 x + 1 - 1$

Langkah 4.3.2.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.8.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.2.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| (y + 1) (y - 1) |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Perluas $(y + 1) (y - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y (y - 1) + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 (y - 1) |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y \cdot y + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + y \cdot - 1 + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 \cdot y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 y$ sebagai $- y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + 1 y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.1.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y + 1 \cdot - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - y + y - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 0 - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.3

Tambahkan $y^{2}$ dan $0$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} - 1 |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| y^{2} - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| y^{2} - 1 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (x + 1) (x - 1) |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Perluas $(x + 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x (x - 1) + 1 (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - x + x - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.2

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 0 - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.3

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Gabungkan $\ln (| x^{2} - 1 |)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 (- \frac{\ln (| x^{2} - 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = 2 \frac{- \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + C \cdot 2$

Langkah 5.2.2.1.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| y^{2} - 1 |) = - \ln (| x^{2} - 1 |) + 2 C$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y^{2} - 1 |) + \ln (| x^{2} - 1 |) = 2 C$

Langkah 5.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y^{2} - 1 | | x^{2} - 1 |) = 2 C$

Langkah 5.5

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (| (y^{2} - 1) (x^{2} - 1) |) = 2 C$

Langkah 5.6

Perluas $(y^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

Langkah 5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1) |) = 2 C$

Langkah 5.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Langkah 5.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - 1 \cdot y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Langkah 5.7.2

Tulis kembali $- 1 y^{2}$ sebagai $- y^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Langkah 5.7.3

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 |) = 2 C$

Langkah 5.7.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$

Langkah 5.8

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |)} = e^{2 C}$

Langkah 5.9

Tulis kembali $\ln (| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 |$

Langkah 5.10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$ .

$| y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 | = e^{2 C}$

Langkah 5.10.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y^{2} x^{2} - y^{2} - x^{2} + 1 = \pm e^{2 C}$

Langkah 5.10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.3.1

Tambahkan $x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y^{2} x^{2} - y^{2} + 1 = \pm e^{2 C} + x^{2}$

Langkah 5.10.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} x^{2} - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.4

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x^{2} - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.4.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) - y^{2} = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.4.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $- y^{2}$ .

$y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1 = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.4.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} (x^{2}) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x^{2} - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y^{2} (x^{2} - 1^{2}) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.6

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.6.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$y^{2} ((x + 1) (x - 1)) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.6.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$

Langkah 5.10.7

Bagi setiap suku pada $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.7.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} (x + 1) (x - 1) = \pm e^{2 C} + x^{2} - 1$ dengan $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.7.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.7.2.2.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.7.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.8

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.9.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}{(x + 1) (x - 1)}}$ sebagai $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9.4

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.9.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9.5.2

Naikkan $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Langkah 5.10.9.5.3

Naikkan $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1}}$

Langkah 5.10.9.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.10.9.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}}$

Langkah 5.10.9.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2}$ sebagai $(x + 1) (x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.9.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ sebagai ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.10.9.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.10.9.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.10.9.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.10.9.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.10.9.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{{((x + 1) (x - 1))}^{1}}$

Langkah 5.10.9.5.6.5

Sederhanakan.

$y = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} + x^{2} - 1} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 5.10.9.6

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{\sqrt{(C + x^{2} - 1) (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)}$