Kalkulus Contoh

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y}$

Langkah 1

Biarkan $V = \frac{x}{y}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - V$

Langkah 2

Selesaikan $V = \frac{x}{y}$ untuk $x$ .

$x = V y$

Langkah 3

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $x = V y$ terhadap $y$ .

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Langkah 4

Substitusikan $y \frac{d V}{d y} + V$ untuk $\frac{d x}{d y}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = - V$

Langkah 5

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y \frac{d V}{d y} = - V - V$

Langkah 5.1.1.1.2

Kurangi $V$ dengan $- V$ .

$y \frac{d V}{d y} = - 2 V$

Langkah 5.1.1.2

Bagi setiap suku pada $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $y \frac{d V}{d y} = - 2 V$ dengan $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Langkah 5.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{- 2 V}{y}$

Langkah 5.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{- 2 V}{y}$

Langkah 5.1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d y} = - \frac{2 V}{y}$

Langkah 5.1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{V} (- \frac{2 V}{y})$

Langkah 5.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Langkah 5.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{V}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Langkah 5.1.3.2.2

Faktorkan $V$ dari $2 V$ .

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Langkah 5.1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = \frac{- 1}{V} \cdot \frac{V \cdot 2}{y}$

Langkah 5.1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V} \frac{d V}{d y} = - \frac{2}{y}$

Langkah 5.1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V} d V = - \frac{2}{y} d y$

Langkah 5.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V} d V = \int - \frac{2}{y} d y$

Langkah 5.2.2

Integral dari $\frac{1}{V}$ terhadap $V$ adalah $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = \int - \frac{2}{y} d y$

Langkah 5.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - \int \frac{2}{y} d y$

Langkah 5.2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| V |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{y} d y)$

Langkah 5.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 5.2.3.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 (\ln (| y |) + C_{2})$

Langkah 5.2.3.5

Sederhanakan.

$\ln (| V |) + C_{1} = - 2 \ln (| y |) + C_{2}$

Langkah 5.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| V |) = - 2 \ln (| y |) + C$

Langkah 5.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| V |) + 2 \ln (| y |) = C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan $\ln (| V |) + 2 \ln (| y |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| V |) + \ln ({| y |}^{2}) = C$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| V |) + \ln (y^{2}) = C$

Langkah 5.3.2.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V | y^{2}) = C$

Langkah 5.3.2.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| V | y^{2})$ .

$\ln (y^{2} | V |) = C$

Langkah 5.3.3

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y^{2} | V |)} = e^{C}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $\ln (y^{2} | V |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | V |$

Langkah 5.3.5

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y^{2} | V | = e^{C}$ .

$y^{2} | V | = e^{C}$

Langkah 5.3.5.2

Bagi setiap suku pada $y^{2} | V | = e^{C}$ dengan $y^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.1

Bagilah setiap suku di $y^{2} | V | = e^{C}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Langkah 5.3.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} | V |}{y^{2}} = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Langkah 5.3.5.2.2.1.2

Bagilah $| V |$ dengan $1$ .

$| V | = \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Langkah 5.3.5.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$V = \pm \frac{e^{C}}{y^{2}}$

Langkah 5.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \pm \frac{C}{y^{2}}$

Langkah 5.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = C \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{x}{y}$ untuk $V$ .

$\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{x}{y} = C \frac{1}{y^{2}}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{y} y = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = C (\frac{1}{y^{2}}) y$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan $C (\frac{1}{y^{2}}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x = \frac{C}{y^{2}} y$

Langkah 7.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{C}{y \cdot y} y$

Langkah 7.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{C}{y}$