Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + x y^{2}}{y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x$ dari $x + x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{1} + x y^{2}}{y}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x y^{2}}{y}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 1 + x (y^{2})}{y}$

Langkah 1.1.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (1 + y^{2})}{y}$

Langkah 1.1.5

Kalikan $x$ dengan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (1 + y^{2})}{y}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{1 + y^{2}}{y}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (x \frac{1 + y^{2}}{y})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{x (1 + y^{2})}{y}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{x (1 + y^{2})}{y}$

Langkah 1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (x (1 + y^{2}))$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Faktorkan $1 + y^{2}$ dari $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Langkah 1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) x)$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 1 + y^{2}$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 1 + y^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$2 y$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 1 + y^{2} |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + y^{2} |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Langkah 3.5.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{2} = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Langkah 3.5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2} + C} - 1}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{x^{2} + C}$ sebagai $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{x^{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \pm \sqrt{C e^{x^{2}} - 1}$