Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = (t + 1) \sin^{2} (2 t)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int (t + 1) \sin^{2} (2 t) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = t + 1$ dan $d v = \sin^{2} (2 t)$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - \int \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\int \frac{1}{2} t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} \int t d t + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{8} \sin (4 t) d t)$

Langkah 2.3.5

Karena $- \frac{1}{8}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- \frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (4 t) d t)$

Langkah 2.3.6

Biarkan $u = 4 t$ . Kemudian $d u = 4 d t$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Biarkan $u = 4 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1.1

Diferensialkan $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Langkah 2.3.6.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 2.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 2.3.6.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 2.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Langkah 2.3.7

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{1}{8} \sin (4 t)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Langkah 2.3.8.2

Gabungkan $\sin (4 t)$ dan $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Langkah 2.3.9

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{3})))$

Langkah 2.3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C_{3}))$

Langkah 2.3.10.1.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

Langkah 2.3.10.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$y + C_{1} = (t + 1) (\frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) - \frac{1}{32} (- \cos (u) + C_{3}))$

Langkah 2.3.10.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2}}{2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{t^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} - \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + 1 (\frac{1}{32}) \cos (u)) + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.4

Kalikan $\frac{1}{32}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{1}{32} \cos (u)) + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.5

Gabungkan $\frac{1}{32}$ dan $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.6

Untuk menuliskan $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.7

Gabungkan $- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})$ dan $\frac{8}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t}{8} + \frac{- (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.10.3.9

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (u)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 t$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 (\frac{t^{2}}{4} + \frac{\cos (4 t)}{32})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 8 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 (- 2) \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t + 4 \cdot - 2 \frac{t^{2}}{4} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - 8 \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.3.1

Faktorkan $8$ dari $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 (- 1) \frac{\cos (4 t)}{32}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.2

Faktorkan $8$ dari $32$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{\cos (4 t)}{8 \cdot 4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- \sin (4 t) t - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.13.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (4 t) t$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - 2 t^{2} - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 t^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (4 t) t) - (2 t^{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.4

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{\cos (4 t)}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2}) - (\frac{\cos (4 t)}{4})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.6

Tulis kembali $- (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ sebagai $- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} + \frac{- 1 (\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4})}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{\sin (4 t) t + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{t^{2}}{2} - \frac{t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{\cos (4 t)}{4}}{8} + \frac{t}{2} - \frac{\sin (4 t)}{8} + C_{4}$

Langkah 2.3.13.9

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{2} t^{2} - \frac{1}{8} (t \sin (4 t) + 2 t^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 t)) + \frac{1}{2} t - \frac{1}{8} \sin (4 t) + K$