Kalkulus Contoh

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 1

Tulis soal sebagai pernyataan matematika.

$2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y]$

Langkah 2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 6 x^{2} + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} + y^{3}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} + y^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{3}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x + 0$

Langkah 3.4.2

Tambahkan $12 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $12 x$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 12 x$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 x = 12 x$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $12 x$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{12 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $2 x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $2 x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $2 x y$ untuk $M$ .

$\frac{12 x - (2 x)}{2 x y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $12 x - 1 \cdot 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $12 x$ .

$\frac{x \cdot 12 - 1 \cdot 2 x}{2 x y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 1 \cdot 2 x$ .

$\frac{x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Langkah 5.3.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 12 + x (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x (12 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x (12 - 2)}{2 x y}$

Langkah 5.3.2.3

Kurangi $2$ dengan $12$ .

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Langkah 5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot 10}{2 x y}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{10}{2 y}$

Langkah 5.3.4

Substitusikan $2 x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Langkah 5.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 y$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (y)}$

Langkah 5.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 5}{2 y}$

Langkah 5.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5}{y}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{5}{y} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int \frac{5}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $5$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{5 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 6.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{5 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{5 \ln (| y |)} + C$

Langkah 6.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan $5 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $5$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{5})} + C$

Langkah 6.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{5} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $2 x y d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$ dengan faktor integral $y^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $2 x y$ dengan $y^{5}$ .

$2 x y \cdot y^{5} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 7.2

Kalikan $y$ dengan $y^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Pindahkan $y^{5}$ .

$2 x (y^{5} y) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 7.2.2

Kalikan $y^{5}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x (y^{5} y^{1}) d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 7.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x y^{5 + 1} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 7.2.3

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $6 x^{2} + y^{3}$ dengan $y^{5}$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} + y^{3}) y^{5} d y = 0$

Langkah 7.4

Terapkan sifat distributif.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3} y^{5}) d y = 0$

Langkah 7.5

Kalikan $y^{3}$ dengan $y^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{3 + 5}) d y = 0$

Langkah 7.5.2

Tambahkan $3$ dan $5$ .

$2 x y^{6} d x + (6 x^{2} y^{5} + y^{8}) d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{6} d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = 2 x y^{6}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $2 y^{6}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2 y^{6}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 y^{6} \int x d x$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 9.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali $2 y^{6} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{6} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{6} \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.2

Gabungkan $y^{6}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{6} \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{6}}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 y^{6}}{2} x^{2} + C$

Langkah 9.3.2.5.2

Bagilah $y^{6}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{6} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{6} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{6} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{6}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$x^{2} (6 y^{5}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$6 x^{2} y^{5} + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 12.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 6 y^{5} x^{2} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kurangkan $6 y^{5} x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Langkah 13.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $6 x^{2} y^{5} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $6 x^{2} y^{5}$ dan $- 6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 6 y^{5} x^{2} + y^{8} - 6 y^{5} x^{2}$

Langkah 13.1.2.2

Kurangi $6 y^{5} x^{2}$ dengan $6 y^{5} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8} + 0$

Langkah 13.1.2.3

Tambahkan $y^{8}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{8}$

Langkah 14

Temukan $y^{8}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = y^{8}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{8} d y$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{8} d y$

Langkah 14.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{8}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{9} y^{9}$ .

$g (y) = \frac{1}{9} y^{9} + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{6} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{1}{9} y^{9} + C$

Langkah 16

Gabungkan $\frac{1}{9}$ dan $y^{9}$ .

$f (x, y) = y^{6} x^{2} + \frac{y^{9}}{9} + C$