Kalkulus Contoh

$(2 x y^{2} + 1) d x + (2 x^{2} y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x y^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + 1]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y^{2} + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $4 x y$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} y]$

Langkah 2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (2 x)$

Langkah 2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y x$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $4 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 x y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $4 x y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y = 4 x y$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$4 x y = 4 x y$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = 2 x^{2} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2 x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali $2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 5.3.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x = 2 x y^{2} + 1$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $2 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x y^{2} + 1 - 2 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 x y^{2}$ dan $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 1 - 2 y^{2} x$

Langkah 9.1.2.2

Kurangi $2 y^{2} x$ dengan $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 1$

Langkah 9.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{d g}{d x} = 1$

Langkah 10

Temukan $1$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Langkah 10.3

Terapkan aturan konstanta.

$g (x) = x + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x + C$