Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 4 y + x$

Langkah 1

Kurangkan $4 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d y}{d x} - 4 y = x$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int - 4 d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{- 4 x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 4 x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{- 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 4 x} (- 4 y) = e^{- 4 x} x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 e^{- 4 x} y = e^{- 4 x} x$ .

$e^{- 4 x} \frac{d y}{d x} - 4 y e^{- 4 x} = x e^{- 4 x}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] = x e^{- 4 x}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 4 x} y] d x = \int x e^{- 4 x} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{- 4 x} y = \int x e^{- 4 x} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 4 x}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan $e^{- 4 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

Langkah 7.3

Karena $- \frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - (- \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 (\frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

Langkah 7.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x$

Langkah 7.5

Biarkan $u = - 4 x$ . Kemudian $d u = - 4 d x$ sehingga $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Biarkan $u = - 4 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1.1

Diferensialkan $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 7.5.1.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Langkah 7.5.1.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Langkah 7.6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Langkah 7.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Langkah 7.8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u))$

Langkah 7.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.9.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u$

Langkah 7.9.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u$

Langkah 7.10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$

Langkah 7.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.1

Tulis kembali $- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C)$ sebagai $- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Langkah 7.11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.11.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Langkah 7.11.2.2

Gabungkan $e^{- 4 x}$ dan $\frac{x}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u} + C$

Langkah 7.12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 x$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Langkah 7.13

Gabungkan $e^{- 4 x}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

Langkah 7.14

Susun kembali suku-suku.

$e^{- 4 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $e^{- 4 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{e^{- 4 x}}{4} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Langkah 8.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{- 4 x} + C$

Langkah 8.1.3

Gabungkan $e^{- 4 x}$ dan $\frac{1}{16}$ .

$e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$

Langkah 8.2

Bagi setiap suku pada $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ dengan $e^{- 4 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{- 4 x} y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} + C$ dengan $e^{- 4 x}$ .

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{- 4 x} y}{e^{- 4 x}} = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- \frac{x e^{- 4 x}}{4}}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{4} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ dengan $\frac{x e^{- 4 x}}{4}$ .

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{- \frac{e^{- 4 x}}{16}}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16} \cdot \frac{1}{e^{- 4 x}} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.5

Kalikan $\frac{1}{e^{- 4 x}}$ dengan $\frac{e^{- 4 x}}{16}$ .

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{e^{- 4 x} \cdot 16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$

Langkah 8.2.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{x}{4} - \frac{1}{16} + \frac{C}{e^{- 4 x}}$