Kalkulus Contoh

$(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 x - 2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x - 2 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $3 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 4 y$

Langkah 1.4

Kurangi $4 y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 2.2

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 4 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y = - 2 y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 4 y = - 2 y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 4 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 2 y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 2 x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- 2 x y$ untuk $N$ .

$\frac{- 4 y - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- 4 y - (- 2 y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $- 4 y$ .

$\frac{y \cdot - 4 - (- 2 y)}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- (- 2 y)$ .

$\frac{y \cdot - 4 + y (- (- 2))}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y \cdot - 4 + y (- (- 2))$ .

$\frac{y (- 4 - (- 2))}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{y (- 4 + 2)}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.2.3

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot - 2}{- 2 x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2}{- 2 x}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Langkah 5.2.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = | x | + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(3 x - 2 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$ dengan faktor integral $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $3 x - 2 y^{2}$ dengan $x$ .

$(3 x - 2 y^{2}) x d x - 2 x y d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(3 x \cdot x - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan $x$ .

$(3 (x \cdot x) - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Langkah 6.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $- 2 x y$ dengan $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x y x d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pindahkan $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 (x \cdot x) y d y = 0$

Langkah 6.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(3 x^{2} - 2 y^{2} x) d x - 2 x^{2} y d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x^{2} y d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - 2 x^{2} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $- 2 x^{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2 x^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - 2 x^{2} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $- 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x^{2}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 (- x^{2})}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{- x^{2}}{1} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.4.2.4

Bagilah $- x^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- 2 y^{2} x + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 y^{2} x = 3 x^{2} - 2 y^{2} x$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Tambahkan $2 y^{2} x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} - 2 y^{2} x + 2 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Tambahkan $- 2 y^{2} x$ dan $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Langkah 13

Temukan $3 x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Langkah 13.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ sebagai $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 13.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Langkah 13.5.2.3

Kalikan $x^{3}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x^{2} y^{2} + x^{3} + C$