Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 5}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x^{2}$ dan $d v = \sqrt{x - 5}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{2}{3} \cdot 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3} \cdot 2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = x - 5$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = x - 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $x - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x - 5]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 2.3.5.1.4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 5) d u$

Langkah 2.3.6

Perluas $u^{\frac{3}{2}} (u + 5)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 5 d u$

Langkah 2.3.6.2

Susun kembali $u^{\frac{3}{2}}$ dan $5$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 5 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.3

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.7

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 5 u^{\frac{3}{2}} d u$

Langkah 2.3.6.8

Susun kembali $u^{\frac{5}{2}}$ dan $5 u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int 5 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{5}{2}} d u$

Langkah 2.3.7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int 5 u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Langkah 2.3.8

Karena $5$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Langkah 2.3.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{3}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Langkah 2.3.10

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Langkah 2.3.11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{5}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{3})$

Langkah 2.3.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.1

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C_{3})$

Langkah 2.3.12.2

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.3.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.2

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{3}$ dan ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (5 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.4

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{10}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.3.5.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.3.5.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{1} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.5.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.6

Untuk menuliskan $- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.7

Gabungkan $- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.9

Gabungkan $\frac{2}{7}$ dan $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.10

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.11

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.12

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.12.3.13.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.12.3.13.2.4

Bagilah $- 4$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 u^{\frac{5}{2}} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 {(x - 5)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Langkah 2.3.14

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 5)}^{\frac{7}{2}})) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} - 4 (2 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 5)}^{\frac{7}{2}})) + K$