Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = x^{5} - 5$ . Kemudian $d u = 5 x^{4} d x$ sehingga $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = x^{5} - 5$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $5 x^{4}$ dan $0$ .

$5 x^{4}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Langkah 2.3.2

Gabungkan $u^{2}$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{5}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{5}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Tulis kembali $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $5$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Langkah 4.2.2

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Langkah 4.2.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $\frac{1}{15}$ dan $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Langkah 4.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $\frac{64}{15}$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $5$ dengan $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Langkah 4.3.5.2

Tambahkan $75$ dan $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{139}{15}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{139}{15}$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.2.2

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.3

Kalikan $- 5$ dengan $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.4

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.5

Kalikan $25$ dengan $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.2.6

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan $\frac{1}{15}$ dan $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Faktorkan $15$ dari $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.3.1

Faktorkan $15$ dari $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.4.1

Faktorkan $5$ dari $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.4.2

Faktorkan $5$ dari $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.4.5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Langkah 5.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $- \frac{25}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Langkah 5.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $\frac{25}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Langkah 5.4.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Langkah 5.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Kalikan $- 25$ dengan $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Langkah 5.6.2

Tambahkan $- 125$ dan $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$