Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = e^{- y} (2 x - 4)$ , $y (5) = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (2 x - 4))$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d x} = 2 x - 4$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = (2 x - 4) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- y}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2

Kalikan $- y \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.2.1.2.1.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\int e^{y} d y = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x - 4 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{y} + C_{1} = \int 2 x d x + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int x d x + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 4 d x$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 x + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$e^{y} + C_{1} = x^{2} - 4 x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$e^{y} = x^{2} - 4 x + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y}) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Langkah 3.2

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Perluas $\ln (e^{y})$ dengan memindahkan $y$ ke luar logaritma.

$y \ln (e) = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Langkah 3.2.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Langkah 3.2.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$

Langkah 4

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $5$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ .

$0 = \ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)$

Langkah 5

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ .

$\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$

Langkah 5.2

Untuk menyelesaikan $K$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K)} = e^{0}$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\ln (5^{2} - 4 \cdot 5 + K) = 0$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 5^{2} - 4 \cdot 5 + K$

Langkah 5.4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$ .

$5^{2} - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan $5^{2} - 4 \cdot 5 + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$25 - 4 \cdot 5 + K = e^{0}$

Langkah 5.4.2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $5$ .

$25 - 20 + K = e^{0}$

Langkah 5.4.2.2

Kurangi $20$ dengan $25$ .

$5 + K = e^{0}$

Langkah 5.4.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$5 + K = 1$

Langkah 5.4.4

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Kurangkan $5$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 1 - 5$

Langkah 5.4.4.2

Kurangi $5$ dengan $1$ .

$K = - 4$

Langkah 6

Substitusikan $- 4$ untuk $K$ dalam $y = \ln (x^{2} - 4 x + K)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Substitusikan $- 4$ untuk $K$ .

$y = \ln (x^{2} - 4 x - 4)$