Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} (x^{2} {(2 y - 1)}^{2})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(2 y - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan ${(2 y - 1)}^{2}$ dari $x^{2} {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} ({(2 y - 1)}^{2} x^{2})$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{{(2 y - 1)}^{2}} d y = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 2 y - 1$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 2 y - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.4.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C_{1})$ sebagai $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 (2 y - 1), 3, 1$

Langkah 3.2.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.3

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.4

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 3.2.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.6

KPK dari $2, 3, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 3$

Langkah 3.2.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6$

Langkah 3.2.8

Faktor untuk $2 y - 1$ adalah $2 y - 1$ itu sendiri.

$(2 y - 1) = 2 y - 1$

$(2 y - 1)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.9

KPK dari $2 y - 1$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

$2 y - 1$

Langkah 3.2.10

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$6 (2 y - 1)$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ dengan $6 (2 y - 1)$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 (2 y - 1)} = \frac{x^{3}}{3} + K$ dengan $6 (2 y - 1)$ .

$- \frac{1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 (2 y - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 (2 y - 1)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (6 (2 y - 1)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $2 (2 y - 1)$ dari $6 (2 y - 1)$ .

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) (3)) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 (2 y - 1)} (2 (2 y - 1) \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 = \frac{x^{3}}{3} (6 (2 y - 1)) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 6 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$- 3 = 3 (2) \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 = 3 \cdot 2 \frac{x^{3}}{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y - 1) + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$- 3 = 2 x^{3} (2 y) + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y + 2 x^{3} \cdot - 1 + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 3 = 2 \cdot 2 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + K (6 (2 y - 1))$

Langkah 3.3.3.1.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y - 1)$

Langkah 3.3.3.1.8

Terapkan sifat distributif.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 K (2 y) + 6 K \cdot - 1$

Langkah 3.3.3.1.9

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y + 6 K \cdot - 1$

Langkah 3.3.3.1.10

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 6 \cdot 2 K y - 6 K$

Langkah 3.3.3.1.11

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$- 3 = 4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$ .

$4 x^{3} y - 2 x^{3} + 12 K y - 6 K = - 3$

Langkah 3.4.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Tambahkan $2 x^{3}$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{3} y + 12 K y - 6 K = - 3 + 2 x^{3}$

Langkah 3.4.2.2

Tambahkan $6 K$ ke kedua sisi persamaan.

$4 x^{3} y + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $4 y$ dari $4 x^{3} y + 12 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Faktorkan $4 y$ dari $4 x^{3} y$ .

$4 y (x^{3}) + 12 K y = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Langkah 3.4.3.2

Faktorkan $4 y$ dari $12 K y$ .

$4 y (x^{3}) + 4 y (3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Langkah 3.4.3.3

Faktorkan $4 y$ dari $4 y (x^{3}) + 4 y (3 K)$ .

$4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ dengan $4 (x^{3} + 3 K)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $4 y (x^{3} + 3 K) = - 3 + 2 x^{3} + 6 K$ dengan $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y (x^{3} + 3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3} + 3 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x^{3} + 3 K)}{x^{3} + 3 K} = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{3}$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (x^{3})}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 x^{3}}{2 (2 (x^{3} + 3 K))} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{6 K}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 K$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{4 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.4.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 (x^{3} + 3 K)$ .

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Langkah 3.4.4.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{2 (3 K)}{2 (2 (x^{3} + 3 K))}$

Langkah 3.4.4.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + 3 K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + 3 K)} + \frac{3 K}{2 (x^{3} + 3 K)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{3}{4 (x^{3} + K)} + \frac{x^{3}}{2 (x^{3} + K)} + \frac{K}{2 (x^{3} + K)}$