Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(2 + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \cdot \frac{{(2 + y)}^{2}}{2 x - 1}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x - 1}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 + y$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 2 + y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan ${u_{1}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{1}}^{- 2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- {u_{1}}^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 2 x - 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 2 x - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{2 + y} = \frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| 2 x - 1 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$2 + y, 1, 1$

Langkah 3.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$2 + y, 1, 1$

Langkah 3.2.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$2 + y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ dengan $2 + y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{2 + y} = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ dengan $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 + y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Langkah 3.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) (2 + y) + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.2

Kalikan $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Susun kembali $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ dan $2$ .

$- 1 = 2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Sederhanakan $2 \cdot \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$- 1 = \ln ({({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = \ln ({| 2 x - 1 |}^{1}) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.3.2

Sederhanakan.

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C (2 + y)$

Langkah 3.3.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + C \cdot 2 + C y$

Langkah 3.3.3.1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$

Langkah 3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| 2 x - 1 |) + \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) y + 2 C + C y$ .

$- 1 = \ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C + C y = - 1$

Langkah 3.4.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) = - 2 C - C y - 1$

Langkah 3.4.3

Tambahkan $C y$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (| 2 x - 1 |) + y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1$

Langkah 3.4.4

Kurangkan $\ln (| 2 x - 1 |)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

Langkah 3.4.5

Faktorkan $y$ dari $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Faktorkan $y$ dari $C y$ .

$y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

Langkah 3.4.5.2

Faktorkan $y$ dari $y \ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + y C$ .

$y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$

Langkah 3.4.6

Bagi setiap suku pada $y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ dengan $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Bagilah setiap suku di $y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C) = - 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)$ dengan $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

$\frac{y (\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 3.4.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} + \frac{- \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2 C}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 2 C - 1}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - \frac{\ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 2 C - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 C$ .

$y = \frac{- (2 C) - 1 - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- (2 C) - 1 (1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 C) - 1 (1)$ .

$y = \frac{- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 C + 1) - \ln (| 2 x - 1 |)$ .

$y = \frac{- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.3.2.7.1

Tulis kembali $- (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ sebagai $- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))$ .

$y = \frac{- 1 (2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |))}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 3.4.6.3.2.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{2 C + 1 + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{C + \ln (| 2 x - 1 |)}{\ln ({| 2 x - 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$