Kalkulus Contoh

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 2 \cdot \frac{1}{t}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 2 \cdot \frac{1}{t} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Langkah 2.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| t |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| t |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - 2 \ln (| t |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| t |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| t |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) - \ln (t^{2}) = C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{t^{2}})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{t^{2}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{t^{2}}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $t^{2}$ .

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{t^{2}} t^{2} = e^{C} t^{2}$

Langkah 3.5.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} t^{2}$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} t^{2}$ .

$| y | = t^{2} e^{C}$

Langkah 3.5.4

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm t^{2} e^{C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm t^{2} C$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C t^{2}$