Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 5$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (t) d t}$ , di mana $P (t) = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int 4 d t}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{4 t + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{4 t}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{4 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 5$

Langkah 2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 5$

Langkah 2.3

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 5 \cdot e^{4 t}$

Langkah 2.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 5 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 5 e^{4 t}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 5 e^{4 t}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 5 e^{4 t} d t$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$e^{4 t} y = \int 5 e^{4 t} d t$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $5$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$e^{4 t} y = 5 \int e^{4 t} d t$

Langkah 6.2

Biarkan $u = 4 t$ . Kemudian $d u = 4 d t$ sehingga $\frac{1}{4} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = 4 t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Diferensialkan $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Langkah 6.2.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 6.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{4 t} y = 5 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Langkah 6.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 5 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Langkah 6.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$e^{4 t} y = 5 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.5

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $5$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 6.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{u} + C$

Langkah 6.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$ dengan $e^{4 t}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $e^{4 t} y = \frac{5}{4} e^{4 t} + C$ dengan $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{4 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{4 t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\frac{5}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Langkah 7.3.1.2

Bagilah $\frac{5}{4}$ dengan $1$ .

$y = \frac{5}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$