Kalkulus Contoh

$(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = e^{x} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x} + y^{2}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{x} + y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $e^{x}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{x}}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- \frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{e^{x}}{y}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{1}{y} e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.4.3

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $- 2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y} + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $y - \frac{e^{x}}{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y - \frac{e^{x}}{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y - \frac{e^{x}}{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$2 y = y - \frac{e^{x}}{y}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $y - \frac{e^{x}}{y}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $e^{x} + y^{2}$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $e^{x} + y^{2}$ untuk $M$ .

$\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - (2 y)}{e^{x} + y^{2}}$

Langkah 4.3.2

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kalikan $\frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y}{y} \cdot \frac{y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y}{e^{x} + y^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Gabungkan.

$\frac{y (y - \frac{e^{x}}{y} - 1 \cdot 2 y)}{y (e^{x} + y^{2})}$

Langkah 4.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y \cdot y + y (- \frac{e^{x}}{y}) + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{x}}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \cdot y + y \frac{- e^{x}}{y} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \cdot y - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} + y (- 1 \cdot 2 y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y \cdot y}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.5.3

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.3.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 (y \cdot y)}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.5.3.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 1 \cdot 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{y^{2} - e^{x} - 2 y^{2}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.5.5

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y e^{x} + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.6

Faktorkan $y$ dari $y e^{x} + y \cdot y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.6.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{x}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y \cdot y^{2}}$

Langkah 4.3.6.2

Faktorkan $y$ dari $y \cdot y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x}) + y (y^{2})}$

Langkah 4.3.6.3

Faktorkan $y$ dari $y (e^{x}) + y (y^{2})$ .

$\frac{- y^{2} - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Langkah 4.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $- y^{2} - e^{x}$ dan $e^{x} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Faktorkan $- 1$ dari $- y^{2}$ .

$\frac{- (y^{2}) - e^{x}}{y (e^{x} + y^{2})}$

Langkah 4.3.7.2

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{x}$ .

$\frac{- (y^{2}) - (e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Langkah 4.3.7.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (y^{2}) - (e^{x})$ .

$\frac{- (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Langkah 4.3.7.4

Tulis kembali $- (y^{2} + e^{x})$ sebagai $- 1 (y^{2} + e^{x})$ .

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (e^{x} + y^{2})}$

Langkah 4.3.7.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Langkah 4.3.7.6

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (y^{2} + e^{x})}{y (y^{2} + e^{x})}$

Langkah 4.3.7.7

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{y}$

Langkah 4.3.8

Substitusikan $e^{x} + y^{2}$ untuk $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(e^{x} + y^{2}) d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $e^{x} + y^{2}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$(e^{x} + y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $e^{x} + y^{2}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + (x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}) \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Untuk menuliskan $x y$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y}{y} - \frac{e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y \cdot y - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.3

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x (y \cdot y) - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.3.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.4

Untuk menuliskan $- 2 y^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} - 2 y^{2} \cdot \frac{y}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.5

Gabungkan $- 2 y^{2}$ dan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x}}{y} + \frac{- 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{2} y}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.7

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.7.1

Pindahkan $y$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y \cdot y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.7.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.7.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 (y^{1} y^{2})}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.7.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{1 + 2}}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.5.7.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}}{y} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = 0$

Langkah 6.7

Kalikan $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Kalikan $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y}$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y \cdot y} d y = 0$

Langkah 6.7.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y} d y = 0$

Langkah 6.7.3

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1} y^{1}} d y = 0$

Langkah 6.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{1 + 1}} d y = 0$

Langkah 6.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x + \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x} + y^{2}}{y} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = \frac{e^{x} + y^{2}}{y}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} + \frac{y^{2}}{y} d x$

Langkah 8.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y^{2}}{y} d x$

Langkah 8.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y} d x$

Langkah 8.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d x$

Langkah 8.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Langkah 8.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d x$

Langkah 8.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int \frac{y}{1} d x$

Langkah 8.3.2.5

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{e^{x}}{y} d x + \int y d x$

Langkah 8.4

Karena $\frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{y}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int e^{x} d x + \int y d x$

Langkah 8.5

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + \int y d x$

Langkah 8.6

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (e^{x} + C) + y x + C$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{e^{x}}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{e^{x}}{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{y}$ sebagai $y^{- 1}$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$e^{x} (- y^{- 2}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x} (- \frac{1}{y^{2}}) + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.6.2

Gabungkan $e^{x}$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{e^{x}}{y^{2}} + x + \frac{d g}{d y} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 11.6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} = \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + x - \frac{e^{x}}{y^{2}} - \frac{x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2} - e^{x} - 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - (x y^{2}) - - e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.2.1

Kalikan $- - e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + 1 e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2.1.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} - (- 2 y^{3})}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $- e^{x} - x y^{2} + e^{x} + 2 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Tambahkan $- e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 0 + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- x y^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{- x y^{2} + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $- x y^{2} + 2 y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $- x y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + 2 y^{3}}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $2 y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.1.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} (- x) + y^{2} (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d y} + x + \frac{y^{2} (- x + 2 y)}{y^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.2

Bagilah $- x + 2 y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y = 0$

Langkah 12.1.1.6

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d y} + x - x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.6.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 + 2 y = 0$

Langkah 12.1.1.6.2

Tambahkan $\frac{d g}{d y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y = 0$

Langkah 12.1.2

Kurangkan $2 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y$

Langkah 13

Temukan $- 2 y$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = - 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y d y$

Langkah 13.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (y) = - 2 \int y d y$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (y) = - y^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{x}}{y} + y x - y^{2} + C$