Kalkulus Contoh

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x y = 2 y^{2} + 1$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + x (y) = 2 y^{2} + 1$

Langkah 1.2

Susun kembali $x$ dan $y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$

Langkah 1.3

Bagilah setiap suku di $y^{2} \frac{d x}{d y} + y x = 2 y^{2} + 1$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} \frac{d x}{d y}}{y^{2}} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $\frac{d x}{d y}$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.5

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y^{2}} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{y (x)}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d y} + \frac{y x}{y \cdot y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{2 y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.6.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{x}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.7

Faktorkan $x$ dari $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{1}{y} = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 1.8

Susun kembali $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{1}{y} x = 2 + \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (y) d y}$ , di mana $P (y) = \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$e^{\ln (| y |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (y)}$

Langkah 2.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$y$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + y (\frac{1}{y} x) = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $x$ .

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d x}{d y} + y \frac{x}{y} = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d x}{d y} + x = y \cdot 2 + y \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 \cdot y + y \frac{1}{y^{2}}$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + y \frac{1}{y \cdot y}$

Langkah 3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d x}{d y} + x = 2 y + \frac{1}{y}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d y} [y x] = 2 y + \frac{1}{y}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d y} [y x] d y = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$y x = \int 2 y + \frac{1}{y} d y$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y x = \int 2 y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 7.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y x = 2 \int y d y + \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y$

Langkah 7.4

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$y x = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$y x = 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C$

Langkah 7.5.2

Sederhanakan.

$y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ dengan $y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $y x = y^{2} + \ln (| y |) + C$ dengan $y$ .

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x}{y} = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y^{1}} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.3.1.2.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{y}{1} + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$

Langkah 8.3.1.2.5

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$x = y + \frac{\ln (| y |)}{y} + \frac{C}{y}$