Kalkulus Contoh

$x^{2} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ dengan $2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{2}$ dengan $2 y$ .

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{2}}{2 y})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{2 y}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 2}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{2}}{y \cdot 2}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = - \frac{x^{2}}{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{2} d x$

Langkah 2.3.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x^{2} d x)$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{3 \cdot 2} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{6} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{6} x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{6} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{6} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{6} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{6} x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{6}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{6} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{3}}{6}) + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{3}}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{3}}{6} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{3}}{2 (3)} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{- x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $2 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.4.2

Gabungkan $2 K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{3} + 6 K}{3}}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $\sqrt{\frac{- x^{3} + 6 K}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.6

Kalikan $\frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 3.4.7

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Kalikan $\frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K}}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.7.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 3.4.7.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 3.4.7.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.4.7.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 3.4.7.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.4.7.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.4.7.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.7.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.4.7.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.7.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{3} + 6 K} \sqrt{3}}{3}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 6 K) \cdot 3}}{3}$

Langkah 3.4.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm \frac{\sqrt{(- x^{3} + 6 K) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{3} + K)}}{3}$