Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = (y - 1) (1 - 2 x)$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} ((y - 1) (1 - 2 x))$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = 1 - 2 x$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y - 1} d y = (1 - 2 x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int 1 - 2 x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y - 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 1 - 2 x d x$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int 1 - 2 x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int d x + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - 2 x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = x - x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.3.6

Susun kembali suku-suku.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - x^{2} + x + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{- x^{2} + x + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y - 1 |) = - x^{2} + x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} + x + C} = | y - 1 |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$ .

$| y - 1 | = e^{- x^{2} + x + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y - 1 = \pm e^{- x^{2} + x + C}$

Langkah 3.3.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \pm e^{- x^{2} + x + C} + 1$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- x^{2} + x + C}$ sebagai $e^{- x^{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x^{2} + x} e^{C} + 1$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- x^{2} + x}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} + x} + 1$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- x^{2} + x} + 1$