Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali $x^{3}$ sebagai ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Langkah 1.2.3

Biarkan $u_{1} = x^{3}$ . Kemudian $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Biarkan $u_{1} = x^{3}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Diferensialkan $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Sederhanakan.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $\frac{1}{1 + u_{1}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Langkah 1.2.4.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Langkah 1.2.5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Langkah 1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Langkah 1.2.6.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Langkah 1.2.6.3

Kalikan $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ dengan $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Langkah 1.2.7

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Biarkan $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Diferensialkan $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Langkah 1.2.7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 1.2.7.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 1.2.7.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 1.2.7.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 1.2.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Langkah 1.2.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Langkah 1.2.9

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Langkah 1.2.9.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Langkah 1.4

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$1 + x^{3}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $1 + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.2

Kalikan $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.3.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.4

Gabungkan $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ dan $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.5

Kalikan $1 + x^{3}$ dengan $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.6.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.6.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.2.8.2

Bagilah $3 x^{2} y$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Langkah 2.3.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.4

Kalikan $1 + x^{3}$ dengan $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.5.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.5.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Langkah 2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Langkah 2.7

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - x + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Langkah 2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $(1 + x^{3}) y = x + C$ dengan $1 + x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $(1 + x^{3}) y = x + C$ dengan $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.3.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.3.1.1.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Langkah 7.3.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Langkah 7.3.1.2.2

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus penjumlahan pangkat tiga. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Langkah 7.3.1.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Langkah 7.3.1.2.3.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$