Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 y + 3}$ .

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 3} \cdot \frac{2 y + 3}{4 x + 5}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 x + 5}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 y + 3} d y = \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 y + 3} d y = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 y + 3$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 2 y + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 3]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + 3$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 2.2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [3]$

Langkah 2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.2.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{1}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 y + 3$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 x + 5} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = 4 x + 5$ . Kemudian $d u_{2} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = 4 x + 5$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$4$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 2.3.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 x + 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |) = \frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |)) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 3 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 2 y + 3 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 3 |)}{2} = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{4} \ln (| 4 x + 5 |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\ln (| 4 x + 5 |)$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + C \cdot \frac{4}{4})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{4}{4}$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 (\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{4} + \frac{C \cdot 4}{4})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{4}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 (2)}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 2 y + 3 |) = 2 \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + C \cdot 4}{2}$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $C$ .

$\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 y + 3 |)} = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (| 2 y + 3 |) = \frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} = | 2 y + 3 |$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$ .

$| 2 y + 3 | = e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Langkah 3.5.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 y + 3 = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}}$

Langkah 3.5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}} - 3$

Langkah 3.5.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{\ln (| 4 x + 5 |) + 4 C}{2}$ menjadi dua pecahan.

$2 y = \pm e^{\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2} + \frac{4 C}{2}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.2.1

Tulis kembali $\frac{\ln (| 4 x + 5 |)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ .

$2 y = \pm e^{\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |) + \frac{4 C}{2}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| 4 x + 5 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{4 C}{2}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4 C$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 (1)}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 (2 C)}{2 \cdot 1}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{2 C}{1}} - 3$

Langkah 3.5.3.2.2.3.2.4

Bagilah $2 C$ dengan $1$ .

$2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$

Langkah 3.5.4

Bagi setiap suku pada $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.5.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} + \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C}}{2} - \frac{3}{2}$

Langkah 3.5.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + 2 C} - 3}{2}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C} - 3}{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}}) + C}$ sebagai $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} e^{C} - 3}{2}$

Langkah 4.3

Susun kembali $e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})}$ dan $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$

Langkah 4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C e^{\ln ({| 4 x + 5 |}^{\frac{1}{2}})} - 3}{2}$