Kalkulus Contoh

$(x^{2} - y^{2}) d x = 2 x (y d) y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $2 x y d y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x^{2} - y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Karena $x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Langkah 2.4

Kurangi $2 y$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 2 x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

Langkah 3.2

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x y$ terhadap $x$ adalah $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - 2 y$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 y = - 2 y$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 2 x y d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = - 2 x y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 2 x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - 2 x \int y d y$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 6.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Tulis kembali $- 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $- 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{- 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot - 2}{2} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f (x, y) = \frac{- 2 x}{2} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{- x}{1} y^{2} + C$

Langkah 6.3.2.4.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2} + g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $- y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} + \frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2}$

Langkah 9.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} = x^{2} - y^{2}$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Tambahkan $y^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - y^{2} + y^{2}$

Langkah 10.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - y^{2} + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Tambahkan $- y^{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Langkah 11

Temukan $x^{2}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Langkah 11.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x y^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C$