Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} + 8 x^{- 1} - 1 d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int 6 x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{- 3} d x + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Gabungkan $x^{- 2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.4.2

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + \int 8 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.5

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.6

Integral dari $x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Langkah 2.3.7

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}) + 8 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Langkah 2.3.9

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{1} = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ .

$0 = - 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$

Langkah 4

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$ .

$- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan $- 1 - \frac{3}{1^{2}} + 8 \ln (| 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- 1 - \frac{3}{1} + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (| 1 |) + C = 0$

Langkah 4.2.1.4

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$- 1 - 3 + 8 \ln (1) + C = 0$

Langkah 4.2.1.5

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$- 1 - 3 + 8 \cdot 0 + C = 0$

Langkah 4.2.1.6

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$- 1 - 3 + 0 + C = 0$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $- 1 - 3$ dan $0$ .

$- 1 - 3 + C = 0$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$- 4 + C = 0$

Langkah 4.3

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$C = 4$

Langkah 5

Substitusikan $4$ untuk $C$ dalam $y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + C$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $4$ untuk $C$ .

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + 8 \ln (| x |) + 4$

Langkah 5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $8 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $8$ ke dalam logaritma.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln ({| x |}^{8}) + 4$

Langkah 5.2.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{8}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = - x - \frac{3}{x^{2}} + \ln (x^{8}) + 4$