Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = x^{2} - 1$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{4}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 1.2.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{4 \ln (x)}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{4})}$

Langkah 1.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{4}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{4}{x}$ dan $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4 + 2} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.1.2

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} + x^{4} \cdot - 1$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - 1 \cdot x^{4}$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $- 1 x^{4}$ sebagai $- x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{6} - x^{4}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = x^{6} - x^{4}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int x^{6} - x^{4} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$x^{4} y = \int x^{6} - x^{4} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x^{4} y = \int x^{6} d x + \int - x^{4} d x$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C + \int - x^{4} d x$

Langkah 6.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - \int x^{4} d x$

Langkah 6.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} + C - (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 7

Bagi setiap suku pada $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ dengan $x^{4}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagilah setiap suku di $x^{4} y = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{1}{5} x^{5} + C$ dengan $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{7}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4}} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{4} (\frac{1}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{7} x^{3}}{1} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.1.2.4

Bagilah $\frac{1}{7} x^{3}$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{7} x^{3} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.2

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1

Faktorkan $x^{4}$ dari $- \frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{x^{4} (- \frac{1}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{x^{3}}{7} + \frac{- \frac{1}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.3.2.4

Bagilah $- \frac{1}{5} x$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{1}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Langkah 7.3.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{x^{3}}{7} - \frac{x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$