Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}}$ , $y (5) = 4$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x^{2} - 1}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 2 x^{2} - 1$ . Kemudian $d u = 4 x d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 2 x^{2} - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $2 x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x + 0$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Tambahkan $4 x$ dan $0$ .

$4 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2.3.5.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 2.3.5.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 2.3.5.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 2.3.5.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2.3

Kalikan $u^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x^{2} - 1$ .

$y + C_{1} = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $5$ untuk $x$ dan $4$ untuk $y$ padda $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ .

$4 = {(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$ .

${(2 \cdot 5^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

${(2 \cdot 25 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $25$ .

${(50 - 1)}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Langkah 4.2.2

Kurangi $1$ dengan $50$ .

$49^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

${(7^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 4$

Langkah 4.2.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Langkah 4.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$7^{2 (\frac{1}{2})} + K = 4$

Langkah 4.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$7^{1} + K = 4$

Langkah 4.2.6

Evaluasi eksponennya.

$7 + K = 4$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 4 - 7$

Langkah 4.3.2

Kurangi $7$ dengan $4$ .

$K = - 3$

Langkah 5

Substitusikan $- 3$ untuk $K$ dalam $y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 3$ untuk $K$ .

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 3$