Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{\sqrt{x}}$ , $y (1) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{\sqrt{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Langkah 2.3.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Langkah 2.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \int (x + 1) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4

Perluas $(x + 1) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \int x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.4.7

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3}$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $1$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan $\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Langkah 4.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2}{3} + 2 \cdot 1 + K = 0$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3} + 2 + K = 0$

Langkah 4.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2 + 2 \cdot 3}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2 + 6}{3} + K = 0$

Langkah 4.2.5.2

Tambahkan $2$ dan $6$ .

$\frac{8}{3} + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $\frac{8}{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - \frac{8}{3}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{8}{3}$ untuk $K$ dalam $y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- \frac{8}{3}$ untuk $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{8}{3}$