Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} + 6 y = 18$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $6 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} = 18 - 6 y$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} + \frac{- 6 y}{x}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18}{x} - \frac{6 y}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{18 - 6 y}{x}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $6$ dari $18 - 6 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $6$ dari $18$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) - 6 y}{x}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $6$ dari $- 6 y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3) + 6 (- y)}{x}$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $6$ dari $6 (3) + 6 (- y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 (3 - y)}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{3 - y}$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{6 (3 - y)}{x}$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Faktorkan $3 - y$ dari $6 (3 - y)$ .

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 - y} \cdot \frac{(3 - y) \cdot 6}{x}$

Langkah 1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{3 - y} d y = \frac{6}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{3 - y} d y = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = 3 - y$ . Kemudian $d u = - d y$ sehingga $- d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = 3 - y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 - y$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$- \ln (| 3 - y |) + C_{1} = 6 \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 3 - y |) = 6 \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$- \ln (| 3 - y |) - 6 \ln (| x |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $- 6 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $6$ ke dalam logaritma.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln ({| x |}^{6}) = C$

Langkah 3.2.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{6}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$- \ln (| 3 - y |) - \ln (x^{6}) = C$

Langkah 3.3

Tambahkan $\ln (x^{6})$ ke kedua sisi persamaan.

$- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 3 - y |) = C + \ln (x^{6})$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 3 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 3 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Bagilah $\ln (| 3 - y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 3 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Langkah 3.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C + \frac{\ln (x^{6})}{- 1}$

Langkah 3.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\ln (x^{6})}{- 1}$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - 1 \cdot \ln (x^{6})$

Langkah 3.4.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot \ln (x^{6})$ sebagai $- \ln (x^{6})$ .

$\ln (| 3 - y |) = - C - \ln (x^{6})$

Langkah 3.5

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 3 - y |) + \ln (x^{6}) = - C$

Langkah 3.6

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - y | x^{6}) = - C$

Langkah 3.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| 3 - y | x^{6})$ .

$\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$

Langkah 3.8

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{6} | 3 - y |)} = e^{- C}$

Langkah 3.9

Tulis kembali $\ln (x^{6} | 3 - y |) = - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = x^{6} | 3 - y |$

Langkah 3.10

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ .

$x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$

Langkah 3.10.2

Bagi setiap suku pada $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ dengan $x^{6}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.1

Bagilah setiap suku di $x^{6} | 3 - y | = e^{- C}$ dengan $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Langkah 3.10.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{6} | 3 - y |}{x^{6}} = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Langkah 3.10.2.2.1.2

Bagilah $| 3 - y |$ dengan $1$ .

$| 3 - y | = \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Langkah 3.10.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$3 - y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}$

Langkah 3.10.4

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$

Langkah 3.10.5

Bagi setiap suku pada $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.5.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm \frac{e^{- C}}{x^{6}} - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.10.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.5.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.10.5.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.10.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.5.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.10.5.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ sebagai $- (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}})$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 3.10.5.3.1.3

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$y = - (\pm \frac{e^{- C}}{x^{6}}) + 3$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm \frac{C}{x^{6}}) + 3$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = - (C \frac{1}{x^{6}}) + 3$