Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = e^{4 x} \cos (e^{4 x})$ , $y (0) = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int e^{4 x} \cos (e^{4 x}) d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{1} = 4 x$ . Kemudian $d u_{1} = 4 d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{1} = 4 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 2.3.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$4$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{4} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $\frac{e^{u_{1}}}{4}$ dan $\cos (e^{u_{1}})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}})}{4} d u_{1}$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \cos (e^{u_{1}}) d u_{1}$

Langkah 2.3.4

Biarkan $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Kemudian $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Biarkan $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1.1

Diferensialkan $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Langkah 2.3.4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.5

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (u_{2}) + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{u_{1}}) + C_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $0$ untuk $y$ padda $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ .

$0 = \frac{1}{4} \sin (e^{4 \cdot 0}) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{4 \cdot 0}) + K = 0$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (e^{0}) + K = 0$

Langkah 4.2.1.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \sin (1) + K = 0$

Langkah 4.2.1.3

Evaluasi $\sin (1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0.0174524 + K = 0$

Langkah 4.2.1.4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $0.0174524$ .

$\frac{0.0174524}{4} + K = 0$

Langkah 4.2.1.5

Bagilah $0.0174524$ dengan $4$ .

$0.0043631 + K = 0$

Langkah 4.3

Kurangkan $0.0043631$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = - 0.0043631$

Langkah 5

Substitusikan $- 0.0043631$ untuk $K$ dalam $y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 0.0043631$ untuk $K$ .

$y = \frac{1}{4} \sin (e^{4 x}) - 0.0043631$

Langkah 5.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (e^{4 x})$ .

$y = \frac{\sin (e^{4 x})}{4} - 0.0043631$