Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x))}{x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$

Langkah 1.2

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $\frac{y}{x}$ dari $\frac{y \ln (\frac{y}{x})}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \ln (\frac{y}{x})$

Langkah 1.2.2

Susun kembali $\frac{y}{x}$ dan $\ln (\frac{y}{x})$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (\frac{y}{x}) \frac{y}{x}$

Langkah 2

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (V) V$

Langkah 3

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 4

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 5

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (V) V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V)$

Langkah 6.1.1.2

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$

Langkah 6.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) - V$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} + \frac{- V}{x}$

Langkah 6.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x} - \frac{V}{x}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V) - V}{x}$

Langkah 6.1.2.2

Faktorkan $V$ dari $V \ln (V) - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Faktorkan $V$ dari $V \ln (V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) - V}{x}$

Langkah 6.1.2.2.2

Faktorkan $V$ dari $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V)) + V \cdot - 1}{x}$

Langkah 6.1.2.2.3

Faktorkan $V$ dari $V (\ln (V)) + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Langkah 6.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{V (\ln (V) - 1)}$ .

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Langkah 6.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $V (\ln (V) - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \cdot \frac{V (\ln (V) - 1)}{x}$

Langkah 6.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{V (\ln (V) - 1)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Biarkan $u_{1} = \ln (V)$ . Kemudian $d u_{1} = \frac{1}{V} d V$ sehingga $V d u_{1} = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = \ln (V)$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1.1

Diferensialkan $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Langkah 6.2.2.1.1.2

Turunan dari $\ln (V)$ terhadap $V$ adalah $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Langkah 6.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} - 1} d u_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.2

Biarkan $u_{2} = u_{1} - 1$ . Kemudian $d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Biarkan $u_{2} = u_{1} - 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1.1

Diferensialkan $u_{1} - 1$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 1]$

Langkah 6.2.2.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $u_{1} - 1$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Langkah 6.2.2.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 1]$

Langkah 6.2.2.2.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- 1$ terhadap $u_{1}$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.2.2.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.3

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.4.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $u_{1} - 1$ .

$\ln (| u_{1} - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.2.4.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 6.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 6.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| \ln (V) - 1 |) = \ln (| x |) + C$

Langkah 6.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| \ln (V) - 1 |) - \ln (| x |) = C$

Langkah 6.3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$

Langkah 6.3.3

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |})} = e^{C}$

Langkah 6.3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |}$

Langkah 6.3.5

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} = e^{C}$

Langkah 6.3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Langkah 6.3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| \ln (V) - 1 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Langkah 6.3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| \ln (V) - 1 | = e^{C} | x |$

Langkah 6.3.5.4

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) - 1 | = | x | e^{C}$

Langkah 6.3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) - 1 = \pm | x | e^{C}$

Langkah 6.3.5.4.3

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$

Langkah 6.3.5.4.4

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Langkah 6.3.5.4.5

Tulis kembali $\ln (V) = \pm | x | e^{C} + 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C} + 1} = V$

Langkah 6.3.5.4.6

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.5.4.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C} + 1}$

Langkah 6.3.5.4.6.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\pm | x | e^{C} + 1}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x | + 1}$

Langkah 6.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = e^{\pm C | x | + 1}$

Langkah 6.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = e^{C | x | + 1}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{y}{x} = e^{C | x | + 1}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x | + 1} x$

Langkah 8.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{C | x | + 1} x$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C | x | + 1} x$ .

$y = x e^{C | x | + 1}$