Kalkulus Contoh

$x y^{2} d y + (x^{2} + 1) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(x^{2} + 1) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y^{2} d y = - (x^{2} + 1) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x (y^{2})) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} (x y^{2}) d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} d y = \frac{1}{x} (- (x^{2} + 1)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y^{2} d y = - \frac{1}{x} (x^{2} + 1) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} d y = (- \frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} d y = (\frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x} \cdot 1) d x$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y^{2} d y = (- x - \frac{1}{x}) d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{2} d y = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int x d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - (\ln (| x |) + C_{3})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C_{4}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $3 (- \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| x |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x |) + C)$

Langkah 5.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2}) + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Langkah 5.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1

Kalikan $3 (- \frac{x^{2}}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.3.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Langkah 5.2.2.1.3.1.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} + 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Langkah 5.2.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Langkah 5.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Langkah 5.3

Sederhanakan $- 3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Langkah 5.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Langkah 5.5

Sederhanakan $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Untuk menuliskan $- \ln ({| x |}^{3})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot \frac{2}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Gabungkan $- \ln ({| x |}^{3})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Kalikan $- \ln ({| x |}^{3}) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 2 \ln ({| x |}^{3})}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.3.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln ({| x |}^{3})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({({| x |}^{3})}^{2})}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.3.2

Kalikan eksponen dalam ${({| x |}^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{3 \cdot 2})}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.3.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln ({| x |}^{6})}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.3.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{6}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C}$

Langkah 5.5.4

Untuk menuliskan $3 C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + 3 C \cdot \frac{2}{2}}$

Langkah 5.5.5

Gabungkan $3 C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6})}{2} + \frac{3 C \cdot 2}{2}}$

Langkah 5.5.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 3 C \cdot 2}{2}}$

Langkah 5.5.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$

Langkah 5.5.8

Tulis kembali $\sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$

Langkah 5.5.9

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 5.5.10

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.10.1

Kalikan $\frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C}}{\sqrt[3]{2}}$ dengan $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 5.5.10.2

Naikkan $\sqrt[3]{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Langkah 5.5.10.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Langkah 5.5.10.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Langkah 5.5.10.5

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.10.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Langkah 5.5.10.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Langkah 5.5.10.5.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 5.5.10.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.10.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Langkah 5.5.10.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Langkah 5.5.10.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Langkah 5.5.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.11.1

Tulis kembali ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ sebagai $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Langkah 5.5.11.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C} \sqrt[3]{4}}{2}$

Langkah 5.5.12

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.12.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$

Langkah 5.5.12.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\sqrt[3]{(- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + 6 C)}}{2}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (- 3 x^{2} - \ln (x^{6}) + C)}}{2}$