Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 2 y e^{x}$ , $y (0) = 4$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 y e^{x})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (y e^{x})$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (e^{x}))$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y e^{x})$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = 2 e^{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 e^{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 e^{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{x} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{x} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = 2 e^{x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{x} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{2 e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{x} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{x} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{2 e^{x} + C}$ sebagai $e^{2 e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{x}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{2 e^{x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{x}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{2 e^{x}}$

Langkah 5

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $4$ untuk $y$ padda $y = C e^{2 e^{x}}$ .

$4 = C e^{2 e^{0}}$

Langkah 6

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $C e^{2 e^{0}} = 4$ .

$C e^{2 e^{0}} = 4$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$C e^{2 \cdot 1} = 4$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$C e^{2} = 4$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $C e^{2} = 4$ dengan $e^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $C e^{2} = 4$ dengan $e^{2}$ .

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{C e^{2}}{e^{2}} = \frac{4}{e^{2}}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$C = \frac{4}{e^{2}}$

Langkah 7

Substitusikan $\frac{4}{e^{2}}$ untuk $C$ dalam $y = C e^{2 e^{x}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan $\frac{4}{e^{2}}$ untuk $C$ .

$y = \frac{4}{e^{2}} e^{2 e^{x}}$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{4}{e^{2}}$ dan $e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{4 e^{2 e^{x}}}{e^{2}}$

Langkah 7.3

Hapus faktor persekutuan dari $e^{2 e^{x}}$ dan $e^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $e^{2}$ dari $4 e^{2 e^{x}}$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2}}$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Langkah 7.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{2} (4 e^{2 e^{x} - 2})}{e^{2} \cdot 1}$

Langkah 7.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{4 e^{2 e^{x} - 2}}{1}$

Langkah 7.3.2.4

Bagilah $4 e^{2 e^{x} - 2}$ dengan $1$ .

$y = 4 e^{2 e^{x} - 2}$