Kalkulus Contoh

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = x e^{x}$

Langkah 1

Integralkan kedua sisi terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Turunan pertama sama dengan integral dari turunan kedua terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x e^{x} d x$

Langkah 1.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Langkah 1.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - (e^{x} + C_{1})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

$\frac{d y}{d x} = x e^{x} - e^{x} + C_{1}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = (x e^{x} - e^{x} + C_{1}) d x$

Langkah 3

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Langkah 3.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{2} = \int x e^{x} - e^{x} + C_{1} d x$

Langkah 3.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{2} = \int x e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - \int e^{x} d x + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.3

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) + \int - e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - \int e^{x} d x + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.5

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + \int C_{1} d x$

Langkah 3.3.6

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{2} = x e^{x} - (e^{x} + C_{3}) - (e^{x} + C_{4}) + C_{1} x + C_{5}$

Langkah 3.3.7

Sederhanakan.

$y + C_{2} = x e^{x} - 2 e^{x} + C_{1} x + C_{6}$

Langkah 3.3.8

Susun kembali suku-suku.

$y + C_{2} = e^{x} x + C_{1} x - 2 e^{x} + C_{6}$

Langkah 3.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $D$ .

$y = e^{x} x + C x - 2 e^{x} + D$