Kalkulus Contoh

Solve the differential equation $\frac{d y}{d x} = 7 y^{2} x^{3}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (7 y^{2} x^{3})$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x^{3})$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{y^{2}} (y^{2} x^{3})$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} x^{3}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{y^{2}} (y^{2} (x^{3}))$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{7}{y^{2}} (y^{2} x^{3})$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 7 x^{3}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 7 x^{3} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 7 x^{3} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 7 x^{3} d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 7 x^{3} d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 7 x^{3} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $- y^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 7 x^{3} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 7 \int x^{3} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $7 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ sebagai $7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 7 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $7$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{7}{4} x^{4} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{7}{4} x^{4} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{7}{4}$ dan $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{7 x^{4}}{4} + K$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y, 4, 1$

Langkah 3.2.2

Karena $y, 4, 1$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 4, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $y^{1}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2$

Langkah 3.2.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.7

KPK dari $1, 4, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2$

Langkah 3.2.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4$

Langkah 3.2.9

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 3.2.10

KPK dari $y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y$

Langkah 3.2.11

KPK untuk $y, 4, 1$ adalah bagian bilangan $4$ dikalikan dengan bagian variabel.

$4 y$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y} = \frac{7 x^{4}}{4} + K$ dengan $4 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y} = \frac{7 x^{4}}{4} + K$ dengan $4 y$ .

$- \frac{1}{y} (4 y) = \frac{7 x^{4}}{4} (4 y) + K (4 y)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y} (4 y) = \frac{7 x^{4}}{4} (4 y) + K (4 y)$

Langkah 3.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $4 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 4) = \frac{7 x^{4}}{4} (4 y) + K (4 y)$

Langkah 3.3.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 4) = \frac{7 x^{4}}{4} (4 y) + K (4 y)$

Langkah 3.3.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 4 = \frac{7 x^{4}}{4} (4 y) + K (4 y)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- 4 = \frac{7 x^{4}}{4} (4 y) + K (4 y)$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 4 = 4 \frac{7 x^{4}}{4} y + K (4 y)$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 = 4 \frac{7 x^{4}}{4} y + K (4 y)$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 = 7 x^{4} y + K (4 y)$

Langkah 3.3.3.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- 4 = 7 x^{4} y + 4 K y$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $7 x^{4} y + 4 K y = - 4$ .

$7 x^{4} y + 4 K y = - 4$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y$ dari $7 x^{4} y + 4 K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Faktorkan $y$ dari $7 x^{4} y$ .

$y (7 x^{4}) + 4 K y = - 4$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $y$ dari $4 K y$ .

$y (7 x^{4}) + y (4 K) = - 4$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $y$ dari $y (7 x^{4}) + y (4 K)$ .

$y (7 x^{4} + 4 K) = - 4$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $y (7 x^{4} + 4 K) = - 4$ dengan $7 x^{4} + 4 K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y (7 x^{4} + 4 K) = - 4$ dengan $7 x^{4} + 4 K$ .

$\frac{y (7 x^{4} + 4 K)}{7 x^{4} + 4 K} = \frac{- 4}{7 x^{4} + 4 K}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7 x^{4} + 4 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (7 x^{4} + 4 K)}{7 x^{4} + 4 K} = \frac{- 4}{7 x^{4} + 4 K}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 4}{7 x^{4} + 4 K}$

Langkah 3.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{4}{7 x^{4} + 4 K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{4}{7 x^{4} + K}$