Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d t} = 4 t + \sec^{2} (t)$ , $r (- π) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d r = (4 t + \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d r = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$r + C_{1} = \int 4 t + \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$r + C_{1} = \int 4 t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.2

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = 4 \int t d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Langkah 2.3.4

Karena turunan dari $\tan (t)$ adalah $\sec^{2} (t)$ , maka integral dari $\sec^{2} (t)$ adalah $\tan (t)$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$r + C_{1} = 4 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

$r + C_{1} = 2 t^{2} + \tan (t) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $- π$ untuk $t$ dan $3$ untuk $r$ padda $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ .

$3 = 2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$ .

$2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan $2 {(- π)}^{2} + \tan (- π) + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- π$ .

$2 ({(- 1)}^{2} π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (1 π^{2}) + \tan (- π) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.3

Kalikan $π^{2}$ dengan $1$ .

$2 π^{2} + \tan (- π) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.4

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran kedua.

$2 π^{2} - \tan (0) + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.5

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$2 π^{2} - 0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 π^{2} + 0 + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Tambahkan $2 π^{2}$ dan $0$ .

$2 π^{2} + K = 3$

Langkah 4.3

Kurangkan $2 π^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 3 - 2 π^{2}$

Langkah 5

Substitusikan $3 - 2 π^{2}$ untuk $K$ dalam $r = 2 t^{2} + \tan (t) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $3 - 2 π^{2}$ untuk $K$ .

$r = 2 t^{2} + \tan (t) + 3 - 2 π^{2}$