Kalkulus Contoh

$2 x y y' = x^{2} + 2 y^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensialnya.

$2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$

Langkah 2

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai fungsi dari $\frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagi setiap suku pada $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ dengan $2 x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Bagilah setiap suku di $2 x y \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 y^{2}$ dengan $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{2 x y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x (2 y)} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{2 y^{2}}{2 x y}$

Langkah 2.1.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y^{2}}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.3.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{x y}$

Langkah 2.1.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Langkah 2.1.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y \cdot y}{y x}$

Langkah 2.1.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y} + \frac{y}{x}$

Langkah 2.2

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $f (\frac{y}{x})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{x}{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $\frac{x}{y}$ dari $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2} + \frac{y}{x}$

Langkah 2.2.1.2

Susun kembali $\frac{x}{y}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{x}{y}$ sebagai ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1} + \frac{y}{x}$

Langkah 3

Biarkan $V = \frac{y}{x}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Langkah 4

Selesaikan $V = \frac{y}{x}$ untuk $y$ .

$y = V x$

Langkah 5

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V x$ terhadap $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Langkah 6

Substitusikan $x \frac{d V}{d x} + V$ untuk $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V^{- 1} + V$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V} + V$

Langkah 7.1.1.1.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2 V} + V$

Langkah 7.1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + V - V$

Langkah 7.1.1.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{1}{2 V} + V - V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.2.2.1

Kurangi $V$ dengan $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} + 0$

Langkah 7.1.1.2.2.2

Tambahkan $\frac{1}{2 V}$ dan $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$

Langkah 7.1.1.3

Bagi setiap suku pada $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ dengan $x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V}$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V}}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 7.1.1.3.3.2

Kalikan $\frac{1}{2 V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V x}$

Langkah 7.1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 7.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $2 V$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V (\frac{1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Kalikan $\frac{1}{2 V}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Langkah 7.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.2.1

Faktorkan $2 V$ dari $2 V x$ .

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V (x)}$

Langkah 7.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 V \frac{d V}{d x} = 2 V \frac{1}{2 V x}$

Langkah 7.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 7.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$2 V d V = \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 2 V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $V$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $V$ terhadap $V$ adalah $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} V^{2} + C_{1})$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.2.3.2.3

Kalikan $V^{2}$ dengan $1$ .

$V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 7.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 7.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$V^{2} = \ln (| x |) + C$

Langkah 7.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$V = \pm \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 7.3.2

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 7.3.2.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 7.3.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 8

Substitusikan $\frac{y}{x}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}, - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 9.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Langkah 9.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Langkah 9.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (| x |) + C}$

Langkah 10.2

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Langkah 10.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Langkah 10.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$

Langkah 11

Sebutkan penyelesaian-penyelesaiannya.

$y = \sqrt{\ln (| x |) + C} x, y = - \sqrt{\ln (| x |) + C} x$